Бесконечные периодические дроби и их перевод в дроби обыкновенные

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть. В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой. При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь. 

Рассмотрим применение данного правила на примерах.

Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Представим число 3,025 в виде обыкновенной дроби. В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025. В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 30251000. Полученную дробь 30251000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 30251000=12140.

Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Переведем дробь ,0017 из десятичных в обыкновенные. В числителе запишем дробь ,0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17. В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 1710000. Данная дробь несократима.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

Сформулируем еще одно правило.

Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа. В числителе  записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть. В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Обратимся к примеру

Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

Представим дробь 155,06005 в виде смешанного числа. Записываем число 155, как целую часть. В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.  В знаменателе записываем единицу и пять нулей Поучаем смешанное число: 1556005100000 Дробную часть можно сократить на 5. Сокращаем, и получаем финальный результат: 155,06005=155120120000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

Самый простой случай — период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим периодическую дробь 3,75(). Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3,75. Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем: 3,75()=3,75=375100=154.

Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

,(74)=,74+,0074+,000074+,00000074+..

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что <q<1, то сумма равна b1q.

Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть у нас есть периодическая дробь ,(8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную. Запишем: ,(8)=,8+,08+,008+.. Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом ,8 и знаменателем ,1. Применим формулу: ,(8)=,8+,08+,008+..=,81-,1=,8,9=89 Это и есть искомая обыкновенная дробь.

Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим дробь ,43(18). Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы: ,43(18)=,43+(,0018+,000018+,00000018..) Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде: ,0018+,000018+,00000018..=,00181-,01=,0018,99=189900. Полученное прибавляем к конечной дроби ,43=43100 и получаем результат: ,43(18)=43100+189900 После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ: ,43(18)=1944

В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Видео

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Тут есть два варианта:

  1. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным.
  2. В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь невозможно представить в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.
  3.  

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, нужно найти ее периодическую и непериодическую часть. Чтобы это сделать нужно привести дробь в неправильную, а затем разделить числитель на знаменатель столбиком.

Что будет происходить в процессе:

  • сначала нужно будет разделить целую часть, если она есть;
  • могут быть несколько чисел после десятичной точки;
  • через некоторое время цифры начнут повторяться.

Повторяющиеся цифры после десятичной точки нужно обозначить периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Пример. Перевести обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Как решаем:

Как решаем:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель уголком:

Остатки начали повторяться. Запишем дробь в соотве

Остатки начали повторяться. Запишем дробь в соответствии с условиями задачи: 1,733 … = 1,7(3).

В итоге получаем: 0,5833 ... = 0,58(3).

В итоге получаем: 0,5833 … = 0,58(3).

Фиксируем: 4,0909 ... = 4,(09).

Фиксируем: 4,0909 … = 4,(09).

Получаем десятичную периодическую дробь: 0,4141 ..

Получаем десятичную периодическую дробь: 0,4141 … = 0,(41).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Виды периодических дробей

Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.

Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

0, (3)

0, (6)

0, (5)

Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной. Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:

0,52 (3)

0,16 (5)

0,31 (6)

Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc(a1b1c1). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

  1. Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k;
  2. Найдите значение выражения X · 10k. Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»;
  3. Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь;
  4. В полученном уравнении найти X. Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

  • 9,(6);
  • 32,(39);
  • 0,30(5);
  • 0,(2475).

Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 …

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10k = 101 = 10. Имеем:

10X = 10 · 9,6666 … = 96,666 …

Теги