Прямая и обратная пропорциональность. Формулы, обозначение, примеры

Функция и ее свойства

Функцией прямой пропорциональности является частный случай линейной функции. Если линейная функция это y = k*x + b, то для прямой пропорциональности это выглядит так: y = k*x, гдеk называется коэффициентом пропорциональности, и это всегда не равно нулю число. Вычислитьk легко – он находится как частное функции и аргумента: k = у/х.

Чтобы было нагляднее, возьмем еще один пример. Представьте, что из пункта А в пункт Б движется автомобиль. Его скорость – 60 км/ч. Если предположить, что скорость движения остается постоянной, то ее можно принять за константу. И тогда запишем условия в виде: S = 60*t, и эта формула аналогична функции прямой пропорциональности y = k*x. Проведем параллель дальше: если k = у/х, то и скорость автомобиля можно вычислить, зная расстояние между А и Б и затраченное на дорогу время: V = S/t.

А теперь от прикладного применения знаний о прямой пропорциональности вернемся обратно к ее функции. К свойствам которой относится:

  • областью ее определения является множество всех действительных чисел (а также его подмножества);

  • функция нечетная;

  • изменение переменных прямо пропорционально осуществляется по всей длине числовой прямой.

Видео

Исследование функции прямой пропорциональности и ее график

Определение

Функция, которая обладает видом y = kx, где k — число (k≠0), является функцией прямой пропорциональности.

Число k представляет собой коэффициент пропорциональности. Переменная y пропорциональна переменной x. Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции

 y = kx + m, если m=0

График прямой пропорциональности изображают в виде прямой, которая пересекает начало координат или точку O (0;0). Для того чтобы построить график прямой пропорциональности, требуется взять одну точку, вторая – будет точкой O.

Прямая пропорциональность характеризуется следующими свойствами:

  • областью определения является множество действительных чисел: D(y): x∈(-∞;+∞) (или x∈R);
  • областью значений является множество действительных чисел: D(y): y∈(-∞;+∞) (или y∈R);
  • нуль функции (y=0) при x=0;
  • если k>0, функция y = kx возрастает, а при k<0 — убывает;

Если k>0, график функции пересекает первую и третью координатные четверти. Функция будет обладать положительными значениями, если значения аргумента положительные:

y > 0 при x > 0.

Функция будет обладать отрицательными значениями, если значения аргумента отрицательные:

y < 0 при x < 0.

Если k < 0, то функция будет иметь график, проходящий через вторую и четвертую координатную четверть. Функция будет характеризоваться положительными значениями, если значения аргумента отрицательные:

y > 0 при x < 0.

Функция будет характеризоваться отрицательными значениями, если значения аргумента положительные:

y < 0 при x > 0.

Величина k представляет собой угловой коэффициент прямой y = kx. С другой стороны, k является тангенсом угла α, образованного прямой и положительным направлением оси Ох.

В качестве примера можно рассмотреть такие функции:

  • y = 2x в виде прямой пропорциональности;
  • y = 2x + 1 в виде линейной функции;
  • y = 2x – 1 в виде линейной функции.

Можно построить график рассматриваемых функций. Каждая из них обладает коэффициентом k = 2. Для первой функции m = 0, для второй: m = 1, для третьей: m = -1. Данные величины вытекают из стандартной записи линейного уравнения:

y = kx + m

Необходимо представить данные в виде таблицы:

График примет такой вид:

Прямые, которые были построены, параллельны. Это объясняется равенством их угловых коэффициентов. Согласно теореме, если y = kx является графиком прямой пропорциональности, тогда график y = kx + m будет ему параллелен, так как коэффициентом k определяется угол наклона к оси x, и данный коэффициент y функций будет обладать равными значениями.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

a и d называются крайними членами, b и c — средним

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

  • при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
  • периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
  • стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

y/x = k

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Как решаем:

  1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
  2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
  3. Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Ответ: 20 км/ч.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Как рассуждаем:

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

  • х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
  • х = 1 * 30 : 12/8
  • х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

Функция обратной пропорциональности и ее график

Функция задается формулой:

 где k – любое действительное число, кроме 0.

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

 Строят график так: нужно задать значения х, затем

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

Нужно построить график функции y = 8/x. 

Вот так выглядит таблица для данной функции:

 Полученные точки отмечают на координатной плоскос

Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

Теги

Теги